This means that each trial we perform has a well-defined success and failure and that these are the only outcomes. {\ textstyle m + \ alpha m ^ {2}}. Angenommen, wir haben die negative Binomialverteilung verwendet, um die Anzahl der Tage zu modellieren, an denen eine bestimmte Maschine arbeitet, bevor sie ausfällt. Dies kann die Verteilung zu einer nützlichen überdispersen Alternative zur Poisson-Verteilung machen, beispielsweise für eine robuste Modifikation der Poisson-Regression .
The constant probability of success is 0.8, and so the probability of failure is 0.2. This type of distribution concerns the number of trials that must occur in order to have a predetermined number of successes. Wenn wir eine Münze werfen, kann die negative Binomialverteilung die Anzahl der Schwänze ("Fehler") angeben, auf die wir wahrscheinlich stoßen, bevor wir auf eine bestimmte Anzahl von Köpfen stoßen ("Erfolge").
{\ textstyle \ alpha = {\ frac {1} {r}}} This is exactly the expectation that we wish to find.
Hier ist die Menge in Klammern der Binomialkoeffizient und gleich. Mit anderen Worten, die alternativ parametrisierte negative Binomialverteilung konvergiert gegen die Poisson-Verteilung und r steuert die Abweichung vom Poisson. Um die Intuition hinter dieser Aussage darzustellen, betrachten Sie zwei unabhängige Poisson-Prozesse, "Erfolg" und "Misserfolg", mit den Intensitäten p und 1 - p . zum Courtney K. Taylor, Ph.D., is a professor of mathematics at Anderson University and the author of "An Introduction to Abstract Algebra. Verwenden von. The probability density function is therefore given by P_(r,p)(x) = p[(x+r-1; r-1)p^(r-1)(1-p)^([(x+r-1)-(r-1)])] (1) = [(x+r-1; r-1)p^(r-1)(1-p)^x]p (2) = (x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x, (3) … Nehmen wir nun an, r > 0 und wir verwenden einen negativen Exponenten: Dann sind alle Begriffe positiv und der Begriff, ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Fehler vor dem r- ten Erfolg gleich k ist , vorausgesetzt, r ist eine ganze Zahl. Die Anzahl der Erfolge vor dem dritten Misserfolg gehört zur unendlichen Menge {0, 1, 2, 3, ...}.
Im Fall einer mäßigen Überdispersion kann dies zu im Wesentlichen ähnlichen Ergebnissen führen wie eine überdisperse Poisson-Verteilung. m
Angenommen, p ist unbekannt und es wird ein Experiment durchgeführt, bei dem im Voraus entschieden wird, dass die Probenahme fortgesetzt wird, bis r Erfolge gefunden werden. p Das heißt, eine Reihe von Versuchen wird durchgeführt, bis r Fehler erhalten werden, dann eine weitere Reihe von Versuchen und dann eine weitere usw. However, unlike the normal distribution, the negative binomial does not naturally result from the use of large samples - nor does it arise f… ) We then keep flipping until the third head appears. Daher ist eine Poisson-Verteilung kein geeignetes Modell. What is the probability that for this player the eighth basket is made on the tenth free throw? r Infolge des zentralen Grenzwertsatzes ist Y r (richtig skaliert und verschoben) daher für ausreichend großes r ungefähr normal .
In addition to this we have independent events, and so we can multiply our probabilities together. - - The coin flips have two possible outcomes, the probability of success is a constant 1/2, and the trials they are independent of one another.
m Einige Autoren bevorzugen es , die Varianz als festzulegen und auszudrücken . Die negative Binomialverteilung wird auch häufig verwendet, um Daten in Form diskreter Sequenzlesezahlen aus RNA- und DNA-Sequenzierungsexperimenten mit hohem Durchsatz zu modellieren.
Betrachten Sie eine Folge negativer binomialer Zufallsvariablen, bei der der Stoppparameter r gegen unendlich geht, während die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch p so gegen Null geht, dass der Mittelwert der Verteilung konstant bleibt. It is easy to see that this is exactly the negative binomial distribution, but with r equal to one. Die zweite alternative Formulierung vereinfacht den Ausdruck etwas, indem erkannt wird, dass die Gesamtzahl der Versuche einfach die Anzahl der Erfolge und Misserfolge ist, d . As we will see, the negative binomial distribution is related to the binomial distribution. {\ textstyle 1-p = {\ frac {r} {m + r}}}, Die Varianz kann dann geschrieben werden als . Each of these k trials contains r successes, and so we have a total of kr successes. Der Begriff "Aggregation" wird insbesondere in der Ökologie verwendet, um die Anzahl einzelner Organismen zu beschreiben. Für den Sonderfall, in dem r eine ganze Zahl ist, wird die negative Binomialverteilung als Pascal-Verteilung bezeichnet . Das heißt, wir können das negative Binom als Poisson ( λ ) -Verteilung betrachten, wobei λ selbst eine Zufallsvariable ist, die als Gammaverteilung mit Form = r und Skala θ = p / (1 - p ) oder entsprechend Rate β = verteilt ist (1 - p ) / p . In einem solchen Fall ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der auftretenden Nicht-6 eine negative Binomialverteilung. Jetzt würden wir insgesamt über Np- Erfolge erwarten .